CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL.

Le mouvement d'un point matériel \(M\) est rectiligne si sa trajectoire est une droite. Dans ce cas nous pouvons écrire :

\(\overrightarrow{OM}=x\,\vec{i}\; ; \; \vec{v}=\dot{x}\,\vec{i}\;\;et\;\;\vec{a}=\ddot{x}\,\vec{i}\)

Le mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur-vitesse est constant ou vecteur-accélération nul et l'équation horaire est :

\(x=vt+x_{0}\).

Le mouvement est rectiligne uniformément varié si le vecteur-accélération est constant et les équations horaires s'écrivent :

\(v=a(t-t_0)+v_{0}\;\;et\;\;x=\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^{2}+v_{0}(t-t_0)+x_{0}\),

où \(x_{0}\) et \(v_{0}\) sont la position et la vitesse du mobile à l'instant initial \(t=t_0\). Si \(\vec{a}.\vec{v}>0\) alors le mouvement est uniformément accéléré ; si \(\vec{a}.\vec{v}<0\) alors le mouvement est uniformément retardé.

Le mouvement est rectiligne sinusoïdal si son vecteur-position s'écrit

\(\overrightarrow{OM}=x(t)\,\vec{i}\;\;avec\;\;x(t)=x_{m}\sin(\omega t+\varphi)\),

\(x_{m}\) est l'amplitude du mouvement ; \(\omega\) est la pulsation ; \(\varphi\) est la phase à l'origine des dates et \(\omega t+\varphi\) est la phase à l'instant \(t\). Le mouvement rectiligne sinusoïdal est régi par l'équation différentielle

\(\ddot{x}+\omega^{2}x=0\).

Le mouvement d'un point matériel est circulaire si sa trajectoire est un cercle de rayon \(R\). En coordonnées polaires nous avons :

\(\overrightarrow{OM}=R\,\vec{e}_{\rho}\\\)

\(\vec{V}=R\dot{\theta}\,\vec{e}_{\theta}\\\)

\(\vec{a}=-R\dot{\theta}^{2}\,\vec{e}_{\rho}+R\ddot{\theta}\,\vec{e}_{\theta}\).

Le mouvement est circulaire uniforme si la vitesse v du mobile est constante ce qui implique que la vitesse angulaire \(\dot{\theta}\) est aussi constante et \(\ddot{\theta}=0.\) Dans ce cas, l'accélération se réduit à sa composante normale

\(\vec{a}_{n}=-R\dot{\theta}^{2}\vec{e}_{\rho}\;\; et \;\;a_{n}=\dfrac{v^{2}}{R}=R\dot{\theta}^{2},\)

et nous notons que le vecteur-position \(\overrightarrow{OM}\) est centrifuge alors que l'accélération normale \(\vec{a}_{n}\) est centripète.