Courbure d'une trajectoire.
Le vecteur-vitesse \(\vec{V}\) étant tangent à la trajectoire, nous pouvons définir le vecteur unitaire tangentiel \(\vec{\tau}\) par :
\(\vec{\tau}=\dfrac{\vec{V}}{V}\)
où \(V\) est la norme du vecteur-vitesse \(\vec{V}\).
La courbe \(\vec{C}\) de la trajectoire est la dérivée du vecteur unitaire tangentiel \(\vec{\tau}\) par rapport à l'abscisse curviligne \(s\). Elle est dirigée suivant le vecteur normal \(\vec{n}\) :
\(\vec{C}=\dfrac{d\vec{\tau}}{ds}=C\,\vec{n}.\)
En introduisant la variable de temps t nous obtenons :
\(\vec{C}=\dfrac{d\vec{\tau}}{ds}\)
\(=\dfrac{d\vec{\tau}}{dt}\dfrac{dt}{ds}\)
\(=\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^{-1}\dfrac{d\vec{\tau}}{dt}\vec{C}\)
\(=\dfrac{1}{V}\dfrac{d\vec{\tau}}{dt}\)
\(=C\vec{n}.\)
Le rayon de courbure \(R_{c}\) est l'inverse de la courbure \(C\) :
\(C=\dfrac{1}{V}\Arrowvert\dfrac{d\vec{\tau}}{dt}\Arrowvert\;\;\;et\;\;\;R_{c}=\dfrac{1}{C}=V\Arrowvert\dfrac{d\vec{\tau}}{dt}\Arrowvert^{-1}\).
Le vecteur unitaire normal \(\vec{n}\) est donc donné par :
\(C=\dfrac{1}{CV}\dfrac{d\vec{\tau}}{dt}=\dfrac{R_{c}}{V}\dfrac{d\vec{\tau}}{dt}\).
Il existe un vecteur unitaire \(\vec{B}=\vec{\tau}\wedge\vec{n}\) tel que la base \((\vec{B}, \vec{\tau}, \vec{n})\) soit directe. Cette base est appelée base de Frenet.