Vecteur-accélération.
Intuitivement, le vecteur-vitesse \(\vec{V}\) d'un mobile peut varier le long de la trajectoire. Pour quantifier cet effet on définit le vecteur-accélération.
Le vecteur-accélération moyen d'un mobile dont la vitesse est \(\vec{V}\) à l'instant \(t\) et \(\vec{V}'\) à l'instant \(t'\) avec \(t'>t\) est :
\(\vec{a}_{moy}=\dfrac{\vec{V}'-\vec{V}}{t'-t}.\)
Le vecteur-accélération instantané \(\vec{a}\) est la dérivée par rapport au temps du vecteur-vitesse instantané. C'est aussi la dérivée seconde du vecteur-position par rapport au temps.
\(\vec{a}=\lim\limits_{t\rightarrow t'}\vec{a}_{moy}\)
\(=\lim\limits_{t\rightarrow t'}\dfrac{\vec{V}-\vec{V}'}{t-t'}\vec{a}\)
\(\vec{a}=\dfrac{d\vec{V}}{dt}=\dfrac{d^{2}\overrightarrow{OM}}{dt^{2}}.\)
\(\bullet\) En coordonnées cartésienne :
\(\vec{a}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\,\vec{i}+\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}\,\vec{j}+\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}}\,\vec{k}\)
\(\vec{a}=\ddot{x}\,\vec{i}+\ddot{y}\,\vec{j}+\ddot{z}\,\vec{k}\).
\(\bullet\) En coordonnées polaires :
\(\vec{a}=\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{d\rho}{dt}\,\vec{e}_{\rho}+\rho\dfrac{d\theta}{dt}\,\vec{e}_{\theta}\right)\)
\(\vec{a}=\left(\dfrac{d^{2}\rho}{dt^{2}}-\rho\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^{2}\right)\,\vec{e}_{\rho}+\left(2\dfrac{d\rho}{dt}\dfrac{d\theta}{dt}+\rho\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\right)\,\vec{e}_{\theta}\)
\(\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^{2})\,\vec{e}_{\rho}+(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\,\vec{e}_{\theta}\).
\(\bullet\) En coordonnées cylindriques :
\(\vec{a}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\rho}{dt}\,\vec{e}_{\rho}+\rho\dfrac{d\varphi}{dt}\,\vec{e}_{\varphi}+\dfrac{dz}{dt}\,\vec{e}_{z}\right)\)
\(\vec{a}=\dfrac{d^{2}\rho}{dt^{2}}\,\vec{e}_{\rho}+\dfrac{d\rho}{dt}\dfrac{d\vec{e}_{\rho}}{dt}+\dfrac{d\rho}{dt}\dfrac{d\varphi}{dt}\,\vec{e}_{\varphi}+\rho\dfrac{d^{2}\varphi}{dt^{2}}\,\vec{e}_{\varphi}+\rho\dfrac{d\varphi}{dt}\dfrac{d\vec{e}_{\varphi}}{dt}+\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}}\vec{e}_{z}\)
\(\vec{a}=\dfrac{d^{2}\rho}{dt^{2}}\,\vec{e}_{\rho}+\dfrac{d\rho}{dt}\dfrac{d\varphi}{dt}\,\vec{e}_{\varphi}+\dfrac{d\rho}{dt}\dfrac{d\varphi}{dt}\,\vec{e}_{\varphi}+\rho\dfrac{d^{2}\varphi}{dt^{2}}\,\vec{e}_{\varphi}-\rho\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^{2}\,\vec{e}_{\rho}+\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}}\vec{e}_{z}\)
\(\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^{2})\,\vec{e}_{\rho}+(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\,\vec{e}_{\varphi}+\ddot{z}\,\vec{e}_{z}\)
\(\bullet\) En coordonnées sphériques :
\(\vec{a}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dr}{dt}\,\vec{e}_{r}+r\dfrac{d\theta}{dt}\,\vec{e}_{\theta}+r\sin\theta\dfrac{d\varphi}{dt}\,\vec{e}_{\varphi}\right)\)
\(\vec{a}=\dfrac{d^{2}r}{dt^{2}}\vec{e}_{r}+\dfrac{dr}{dt}\dfrac{\vec{e}_{r}}{dt}+r\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}},\vec{e}_{\theta}+r\dfrac{d\theta}{dt}\dfrac{d\vec{e}_{\theta}}{dt}+\sin\theta\dfrac{dr}{dt}\dfrac{d\varphi}{dt}\vec{e}_{\varphi} +\)
\(+r\cos\theta\dfrac{d\theta}{dt}\dfrac{d\varphi}{dt}\vec{e}_{\varphi}+r\sin\theta\dfrac{d^{2}\varphi}{dt^{2}}\vec{e}_{\varphi}+r\sin\theta\dfrac{d\varphi}{dt}\dfrac{d\vec{e}_{\varphi}}{dt}\)