Exercices
\(\textbf{Exercice 1}\)
\(\\\)
Établir les expressions du vecteur-vitesse et du vecteur-accélération dans chacun des systèmes de coordonnées polaire, cylindrique et sphérique.
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 2}\)
\(\\\)
Montrer que dans un mouvement curviligne quelconque l'accélération d'une particule dans la base de Frenet \((\vec{\tau}, \vec{\eta})\) est donnée par :
\(a)\) \(\vec{a}=\dfrac{\vec{a}.\vec{v}}{\Arrowvert\vec{v}\Arrowvert}\,\vec{\tau}+\dfrac{\Arrowvert\vec{a}\wedge\vec{v}\Arrowvert}{\Arrowvert\vec{v}\Arrowvert}\,\vec{\eta}\)
\(b)\) \(\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}\,\vec{\tau}+\dfrac{v^{2}}{R_{c}}\,\vec{\eta}\)
\(c)\) Établir que \(\dfrac{d\vec{\tau}}{ds}=\dfrac{\vec{\eta}}{R_{c}}\)
où \(\vec{v}\) est la vitesse de la particule à l'instant \(t\), \(s\) est son abscisse curviligne et \(R_{c}\) est le rayon de courbure de sa trajectoire.
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 3}\)
\(\\\)
Un mobile M décrit une hélice circulaire d'axe \(Oz\), définie par les équations, en coordonnées cartésiennes :
\(\left\{\begin{array}{llll}x=R\cos\theta\\y=R\sin\theta\\z=h\theta\end{array}\right.\)
avec \(\theta(t)=\omega t\) ; \(R\), \(\omega\) et \(h\) sont es constantes.
\(1)\) Déterminer la vitesse \(\vec{v}\) et l'accélération \(\vec{a}\) du mobile. On précisera leurs modules et leurs directions.
\(2)\) En déduire l'expression du rayon de courbure \(R_{c}\) de la trajectoire.
\(3)\) Reprendre la même étude en coordonnées cylindrique.
On considère maintenant que la loi d'évolution \(\theta(t)\) est quelconque.
\(a)\) Exprimer \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) dans la base \((\vec{e}_{r}\), \(\vec{e}_{\theta}\), \(\vec{e}_{z})\) associée aux coordonnées cylindriques, en fonction des données et des dérivées de \(\theta(t)\).
\(b)\) En introduisant le rayon de courbure \(R_{c}\), montrer que :
\(\left\{\begin{array}{llll}\vec{v}=\sqrt{RR_{c}}\dot{\theta}\,\vec{\tau}\\\vec{a}=\sqrt{RR_{c}}\dot{\theta}\,\vec{\tau}+R\dot{\theta}^{2}\,\vec{n}\end{array}\right.\)
\((\vec{\tau}, \vec{n})\) étant la base de Frenet.
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 4}\)
\(\\\)
Dans un repère cartésien \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), un mobile se déplace avec une accélération \(\vec{a}\) dont les composantes sont \(a_{x}=0,8 m/s^{2}\) ; \(a_{y}=a_{z}=0\). À l'instant \(t=0s\), le mobile M est à l'origine du repère et les composantes de sa vitesse à cet instant sont \(v_{x}=v_{z}=0 et v_{y}=0,8m/s\). Déterminer :
La nature de la trajectoire du mobile.
La vitesse du mobile à \(t=1s\).
Le rayon de courbure de la trajectoire au point correspondant à \(t=1s\).
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 5}\)
\(\\\)
Les équations horaires d'un mouvement plan sont données par
\(x(t)=c\cos(kt^{2})\;\;\mbox{et}\;\;y(t)=a\sin(kt^{2})\),
où \(a\) et \(k\) sont des constantes et \(t\) est le temps.
\(1)\) Quelle est la nature de la trajectoire de ce mouvement ?
\(2)\) Déterminer les composantes et la norme de la vitesse. Le mouvement est-il uniforme ?
\(3)\) Déterminer les composantes tangentielle et normale de l'accélération.
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 6}\)
\(\\\)
Dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les composantes du vecteur-position d'un mobile \(M\) sont données par :
\(\overrightarrow{OM}=\left\{\begin{array}{llll}x=\theta^{2}-1\\y=2\theta\\z=0\end{array}\right.\)
où \(\theta\) est une fonction du temps telle que \(\theta+\dfrac{\theta^{3}}{3}=t\). On étudie le mouvement de \(M\) entre \(t=0 et t=+\infty\).
\(1)\) Déterminer la nature de la trajectoire du mobile \(M\).
\(2)\) Déterminer la vitesse \(\vec{v}\) du mobile et calculer sa norme en fonction de \(\theta.\)
\(3)\) Déterminer l'accélération \(\vec{a}\) du mobile et calculer sa norme en fonction de \(\theta.\)
\(4)\) En déduire que \(\vec{a}\) porté par le vecteur-position \(\overrightarrow{OM}\) et donner son expression en fonction de \(\overrightarrow{OM}\) et \(r=\Arrowvert\overrightarrow{OM}\Arrowvert\).
\(5)\) Montrer que \(\dfrac{d}{dt}(\overrightarrow{OM}\wedge\vec{v})=\vec{0}\).
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 7}\)
\(\\\)
Un disque \((d)\) de rayon \(r\), roule sans glisser autour d'un disque \((D)\) de rayon \(R\). Soit \(M\) un point de la périphérie de \((d)\). Exprimer la vitesse et l'accélération de \(M\) dans le repère lié à \((D)\).
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 8}\)
\(\\\)
Un point \(M\) décrit la spirale logarithmique \(r=r_{0}\exp(\theta)\) avec une vitesse angulaire \(\omega=\dfrac{d\theta}{dt}\) constante. On prendra \(\theta=0\) à l'instant \(t=0s\).
\(1)\) Calculer les composantes de la vitesse \(\vec{v}\) et de l'accélération \(\vec{a}\).
\(2)\) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
\(3)\) Donner la valeur du rayon de courbure pour \(\theta=0,90°\) et \(180°\).
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 9}\)
\(\\\)
Un navire \(N\) est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse \(\vec{v}\) le long d'une droite \(\mathcal{D}\). Un sous-marin immobile \(S\) tire une torpille \(T\) à l'instant où l'angle \((\vec{v}, \overrightarrow{NS})\) a la valeur \(\alpha\). \(T\) étant animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse \(\vec{u}\), donner l'expression de l'angle de tir \(\theta=(\overrightarrow{SN}, \vec{u})\) si l'on veut couler le navire \(N\).
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 10}\)
\(\\\)
Un train animé d'un mouvement rectiligne uniforme roule à \(72km/h\) lorsqu'une lanterne suspendue à sa queue à \(4,9m\) du sol se détache à cause des secousses.
\(1)\) Calculer la distance parcourue par le train pendant le temps que met la lampe pour tomber sur le sol.
\(2)\) Où tombe la lampe par rapport au train et par rapport aux rails ?
\(3)\) Quelle est la trajectoire de la lanterne par rapport au train et par rapport aux rails ?
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 11}\)
\(\\\)
\((\vec{\tau}, \vec{n}, \vec{b})\) étant le trièdre de Frenet représenté par en un point \(P\) d'une courbe, on donne les formules suivantes :
\(\dfrac{d\vec{\tau}}{ds}=\dfrac{\vec{n}}{R}\;\;\mbox{et}\;\;\dfrac{d\vec{b}}{ds}=-\dfrac{\vec{n}}{T}\),
où \(\dfrac{1}{R}\) et \(\dfrac{1}{T}\) sont respectivement la courbure et la torsion de la courbure en \(P\) et \(s\) est l'abscisse curviligne de \(P\).
\(1)\) Calcule \(\dfrac{d\vec{n}}{ds}\)
\(2)\) Établir l'expression ci-dessous :
\(\dfrac{1}{T}=\dfrac{\left[ \dfrac{d\overrightarrow{OP}}{dt},\dfrac{d^{2}\overrightarrow{OP}}{dt^{2}},\dfrac{d^{3}\overrightarrow{OP}}{dt^{3}}\right] }{\Arrowvert\dfrac{d\overrightarrow{OP}}{dt}\wedge\dfrac{d^{2}\overrightarrow{OP}}{dt^{2}}\Arrowvert^{2}}\)
où\( \left[ \dfrac{d\overrightarrow{OP}}{dt},\dfrac{d^{2}\overrightarrow{OP}}{dt^{2}},\dfrac{d^{3}\overrightarrow{OP}}{dt^{3}}\right]\) représente le produit mixte des trois vecteurs dérivés du vecteur position \(\overrightarrow{OP}\).
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 12}\)
\(\\\)
Dans un plan \((P)\) rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), un cercle de centre \(C\) et de rayon \(R\) roule sans glisser sur l'axe \((Ox)\). Son centre \(C\) est animé d'une vitesse constante \(\vec{V}_{c}\) parallèle à \((Ox)\).
\(1)\) Donner en fonction du temps les expressions les coordonnées \(x\) et \(y\) d'un point \(M\) du cercle, de vitesse angulaire \(\vec{\Omega}=\omega\vec{k} ; \vec{k}\) étant un vecteur unitaire perpendiculaire au plan \((P)\) tel que \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) forme un trièdre direct.
\(2)\) Déterminer les composantes et le module du vecteur vitesse \(\vec{v}\), à partir des coordonnées \(x\) et \(y\) du point M.
\(3)\) Déterminer les composantes et le module du vecteur-accélération \(\vec{a}\), à partir des coordonnées \(x\) et \(y\) du point \(M\).
\(4)\) Retrouver les résultats de la question 2 à partir de la composition des vitesses.
\(5)\) Retrouver les résultats de la question 3 à partir de la composition des accélérations.
\(\\\)
\(\textbf{Exercice 13}\)
\(\\\)
On considère la courbe définie par l'équation polaire \(\rho=\rho_{0}(1+\cos\theta)\), \(\rho_{0}>0\) dans un plan donné. Un point matériel décrit cette courbe de telle manière qu'au cours du temps l'angle polaire \(\theta\) reste proportionnel à \(t\) avec \(\theta=\omega t.\)
\(1)\) Exprimer le vecteur position du point \(M\).
\(2)\) Dessiner l'allure de la trajectoire ; pour cela prendre plusieurs valeurs de \(\theta(0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2, \pi)\) et des valeurs voisines de \(\pi (2,7rad, 2,8rad, 2,9rad,\) et \(3rad)\). On vérifiera que \(\rho(\theta)=\rho(-\theta)\).
\(3)\) Préciser les directions des vecteurs de la base de Frenet \((\vec{\tau}, \vec{n})\) et ceux de la base polaire \((\vec{e}_{r}, \vec{e}_{\theta}),\) sur la figure au point \(M(\rho, \theta).\)
\(4)\) Calculer la vitesse de l'accélération du point \(M\) (en coordonnées polaires) et préciser leurs directions aux points de la trajectoire définis par \(\theta=0, \pi/4, \pi/2, \pi\) et \(3\pi/2.\)
\(5)\) Calculer la vitesse et l'accélération en coordonnées intrinsèques \((\vec{e}_{r}, \vec{e}_{\theta})\).
\(6)\) Calculer le rayon de courbure au point \(M(\rho, \theta)\).