Vecteur-vitesse
Qui dit mouvement pense intuitivement à une rapidité ou non du mouvement. Cette notion, ce concept est qualifié par la définition du vecteur-vitesse. Le vecteur-vitesse moyen d'un mobile qui occupe la position \(M\) à l'instant \(t\) et la position \(M'\) à l'instant \(t'\) avec \(t'>t\) est :
\(\vec{V}_{moy}=\dfrac{\overrightarrow{MM'}}{t'-t}\).
Le vecteur-vitesse instantanée \(\vec{V}\) est la dérivée du vecteur-position par rapport au temps :
\(\vec{V}=\lim\limits_{t\rightarrow t'}\vec{V}_{moy}\)
\(=\lim\limits_{t\rightarrow t'}\dfrac{\overrightarrow{MM'}}{t'-t}\)
\(=\lim\limits_{t\rightarrow t'}\dfrac{\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM'}}{t-t'}\)
\(\vec{V}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\).
En se référant à l'expression \(d\overrightarrow{OM}\) (formule 1.10, 1.14, 1.22 et 1.33) dans chacun des systèmes de coordonnées, le vecteur-vitesse instantané \(\vec{V}\) est donné par :
\(\bullet\) En coordonnées cartésiennes :
\(\vec{V}=\dfrac{dx}{dt}\,\vec{i}+\dfrac{dy}{dt}\,\vec{j}+\dfrac{dz}{dt}\,\vec{k}\)
\(\vec{V}=\dot{x}\,\vec{i}+\dot{y}\,\vec{j}+\dot{z}\,\vec{k}\)
\(\bullet\) En coordonnées polaires :
\(\vec{V}=\dfrac{d\rho}{dt}\,\vec{e}_{\rho}+\rho\dfrac{d\theta}{dt}\,\vec{e}_{\theta}\)
\(\vec{V}=\dot{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+\rho\dot{\theta}\,\vec{e}_{\theta}\).
\(\bullet\) En coordonnées cylindriques :
\(\vec{V}=\dfrac{d\rho}{dt}\,\vec{e}_{\rho}+\rho\dfrac{d\varphi}{dt}\,\vec{e}_{\varphi}+\dfrac{dz}{dt}\,\vec{e}_{z}\)
\(\vec{V}=\dot{\rho}\,\vec{e}_{\rho}+\rho\dot{\varphi}\,\vec{e}_{\varphi}+\dot{z}\,\vec{e}_{z}\).
\(\bullet\) En coordonnées sphériques :
\(\vec{V}=\dfrac{dr}{dt}\,\vec{e}_{r}+r\dfrac{d\theta}{dt}\,\vec{e}_{\theta}+r\sin\theta\dfrac{d\varphi}{dt}\,\vec{e}_{\varphi}\)
\(\vec{V}=\dot{r}\,\vec{e}_{r}+r\dot{\theta}\,\vec{e}_{\theta}+(r\sin\theta)\dot{\varphi}\,\vec{e}_{\varphi}\).
La norme du vecteur-vitesse instantané est la vitesse du mobile à l'instant t donné. C'est aussi la dérivée de l'abscisse curviligne s par rapport au temps,
\(v=\Arrowvert\vec{V}\Arrowvert=\dfrac{ds}{dt}.\)
Le vecteur-vitesse instantané d'un mobile de position \(M\) à la date \(t\) est toujours tangent à la trajectoire de ce mobile en \(M\) et orienté dans le sens du mouvement. La courbe décrite par l'extrémité du vecteur-vitesse d'un point matériel, portée à partir d'une même origine est appelée hodographe.
