📘 Introduction

Les chapitres précédents ont présenté le programme de base du consommateur : arbitrer entre deux biens dont les quantités sont limitées par un revenu monétaire fixe. Ce cadre, bien que puissant, laisse de côté deux ressources tout aussi rares que le revenu : le temps et l'avenir. Or le consommateur ne se contente pas de répartir un revenu donné entre des biens ; il décide aussi de la part de son revenu qu'il consomme aujourd'hui plutôt que d'épargner pour demain, et de la part de son temps qu'il consacre au travail plutôt qu'au loisir.

Ces deux décisions obéissent exactement à la même logique d'optimisation sous contrainte que le choix entre deux biens ordinaires : il suffit de redéfinir ce que sont les « biens » échangés et ce qu'est la « dotation » du consommateur.

Ce chapitre poursuit deux objectifs complémentaires. D'une part, il étend le modèle du consommateur à deux applications majeures : le choix intertemporel (arbitrage consommation présente-consommation future, épargne et emprunt) et l'offre de travail (arbitrage travail-loisir). D'autre part, il retourne la logique du modèle : au lieu de déduire la demande à partir des préférences, il montre comment retrouver de l'information sur les préférences à partir des choix effectivement observés — c'est la théorie des préférences révélées, qui permet de tester si un consommateur se comporte de façon cohérente avec le modèle d'optimisation, et qui fonde la construction des indices de prix utilisés en pratique (indice des prix à la consommation, par exemple).

🎯 Objectifs du chapitre

💼 Mise en situation — Le cas de Fatou

Fatou vient d'obtenir son diplôme et signe un contrat avec une entreprise qui lui laisse le choix de son volume horaire hebdomadaire : elle peut travailler plus d'heures pour gagner davantage, ou préserver du temps libre. Elle doit donc arbitrer entre consommation et loisir, sachant que chaque heure de loisir supplémentaire lui coûte le salaire horaire w auquel elle renonce.

Fatou envisage également d'acheter un véhicule dans deux ans. Elle hésite entre consommer la totalité de son revenu chaque mois ou en épargner une partie, placée à un taux d'intérêt r, afin de disposer d'une somme plus importante dans le futur. Si un imprévu survient, elle pourrait aussi être amenée à emprunter, c'est-à-dire à consommer aujourd'hui plus que son revenu présent, quitte à rembourser demain. Il s'agit ici d'un choix intertemporel.

Enfin, en comparant le panier de biens qu'elle achète cette année à celui qu'elle achetait l'an dernier, Fatou se demande si son niveau de vie a réellement progressé, ou si la hausse de ses dépenses ne fait que refléter la hausse des prix. Cette question renvoie à la construction d'un indice de prix, et plus largement, à la cohérence de ses choix de consommation dans le temps.

Ces trois questions — combien travailler, combien épargner ou emprunter, comment interpréter l'évolution de ses achats — sont trois applications directes du même modèle du consommateur. Ce chapitre donne les outils pour les traiter rigoureusement.

I Choix intertemporels du consommateur

1. La contrainte de budget intertemporel

Nous allons maintenant nous intéresser aux choix du consommateur dans un cadre dynamique très simple, à deux périodes : « aujourd'hui » et « demain ». Cela va faire apparaître un autre arbitrage que le consommateur peut être amené à établir : celui entre la consommation présente (celle d'aujourd'hui) et la consommation future (celle de demain). Les décisions du consommateur vont être conditionnées par sa contrainte de budget qui relie nécessairement ces deux périodes.

Soient C₁ et C₂ les quantités consommées aujourd'hui et demain. P₁ est le prix du bien aujourd'hui et P₂ celui qui s'appliquera demain. Les revenus pour les deux périodes sont respectivement R₁ et R₂.

S'il consomme tout à la première période : C = R/p₁.

S'il ne consomme pas la totalité de son revenu de la première période : p₁C₁ < R₁, soit R₁ − p₁C₁ = S, ou de manière générale :

où S est l'épargne du consommateur.

Considérons maintenant que le consommateur peut placer cette épargne dans le système financier, qui lui rapporte des intérêts avec i le taux d'intérêt dans l'économie. Il obtiendra alors à la seconde période :

Exemple : s'il place 100 € à 10 % pendant 1 an, il obtient : 100 + 0,1 × 100 = 100 + 10 = 1,1 × 100 = 110.

La contrainte de budget de seconde période est donc :

À la première période, nous avions : p₁C₁ + S = R₁, d'où :

En partant de la relation (2), nous pouvons remarquer qu'il est équivalent pour le consommateur de disposer d'une somme M demain ou d'une somme X = M/(1 + i) aujourd'hui, car en plaçant X aujourd'hui dans le système financier, il aurait exactement le montant M à sa disposition demain.

On appelle alors X la valeur actualisée de M : le montant équivalent aujourd'hui à M dont on disposera demain. Nous pouvons alors reformuler la contrainte de budget de l'agent en termes de valeurs actualisées :

Ce qui nous donne la contrainte de budget intertemporel du consommateur. Le membre de gauche représente la valeur actualisée de la consommation totale (présente et future), et le membre de droite la valeur actualisée du revenu total.

Soit a, le taux d'inflation anticipée par le consommateur pour la seconde période. Sans perte de généralité, nous pouvons normaliser les prix :

Le prix relatif actualisé à la période 1 du bien 2 en termes de bien 1 est alors donné par :

De plus, nous pouvons poser :

La contrainte de budget (4) devient alors :

Pour la représentation graphique, nous pouvons exprimer cette contrainte dans le plan (C₁, C₂) :

Dans le plan (C₁, C₂), la pente de cette contrainte en valeur absolue est :

où r est le taux d'intérêt réel avec :

Une forme simplifiée est : 1 + i = (1 + a)(1 + r) ⇔ r ≈ i − a.

Exemple : Si un placement rapporte 10 % et si le taux d'inflation anticipée est de 3 %, le taux d'intérêt réel est de 7 %.

Toutes les droites de budget passent nécessairement par E₀ = (C₁⁰, C₂⁰) = (R₁/p₁, R₂/p₂) = (R₁, R₂/(1 + a)) (S = 0).

Si le consommateur décide de tout consommer à la première période, nous aurons : C₂ = 0, C₁ = R (la richesse de l'individu). Nous obtenons donc la représentation graphique de la contrainte de budget, donnée en Figure 1. Nous pouvons représenter les possibilités d'endettement et d'épargne pour le consommateur, en fonction des quantités consommées à la première période : épargne si p₁C₁ ≤ R₁, endettement sinon.

2. Optimum du consommateur

La satisfaction du consommateur provient de ses consommations des deux périodes. Nous pouvons alors formuler le problème du consommateur de la manière habituelle :

L'optimum sera atteint au point de tangence de la courbe d'indifférence la plus élevée possible du consommateur avec sa contrainte de budget.

Nous pouvons définir l'optimum du consommateur avec ces nouveaux concepts (ρ et r) :

ρ = r : l'optimum est atteint quand la préférence pour le présent du consommateur est exactement compensée par la consommation future qu'elle obtiendra grâce à chaque unité de bien épargnée aujourd'hui.

Pour démontrer la nécessité de cette condition, procédons par l'absurde. Supposons qu'on ait r > ρ à l'optimum. Dans ce cas, s'il baisse sa consommation présente de 1 unité, la consommation future augmentera de r unités. Or il lui aurait suffi d'avoir ρ unités en plus à la seconde période pour garder le même niveau d'utilité. Donc il améliore sa satisfaction dans ce cas et par conséquent la situation initiale (r > ρ) ne peut correspondre à un optimum.

3. Statique comparative

3.1. Taux d'intérêt et arbitrage consommation-épargne

Considérons maintenant l'effet d'une modification du taux d'intérêt sur l'optimum du consommateur. La variation de i a deux effets :

• (a) le prix relatif σ = (1 + a)/(1 + i) se modifie ;
• (b) la richesse R = R₁ + R₂/(1 + i) se modifie : d/di (R₁ + R₂/(1 + i)) = −R₂/(1 + i)²

Ce qui va être déterminant est l'effet final. Soit C₁* = C₁(R, σ), la consommation optimale de la première période étant donnés le prix relatif des biens et la richesse de l'agent. Nous pouvons alors décomposer l'effet de la variation de i sur la consommation optimale de la première période :

Nous observons bien sûr que :

• (iii) et (iv) composent l'effet de prix relatif (a). Cet effet joue dans le sens contraire de la variation de i ;
• (i) et (ii) correspondent à l'effet sur le revenu (b).

Nous avons deux cas possibles :

• (*) si l'individu était prêteur (S > 0), dans ce cas il percevra plus d'intérêt à la seconde période et tout se passera comme s'il disposait de plus de revenu : dR/di > 0 ;
• (**) si l'individu était débiteur (S < 0), il aura à rembourser plus d'intérêt à la seconde période et tout se passera comme si ses revenus avaient baissé : dR/di < 0 ⇒ dC₁*/di < 0 ⇔ dS*/di > 0.

Dans le cas (**), l'effet final est clair. Dans le cas (*), plus S est faible, plus l'effet (b) est faible et l'effet (a) pourra le dominer. Inversement, si S est suffisamment fort, nous pouvons avoir dC₁*/di > 0 ⇒ dS*/di < 0.

Étant données ses préférences, le consommateur n'acceptera d'épargner que si le taux d'intérêt est suffisamment élevé :

3.2. Effet du taux d'inflation

Si a augmente, σ = (1 + a)/(1 + i) augmente et la consommation future devient relativement plus chère. De manière similaire, la diminution de r rend l'épargne moins attrayante : la consommation présente augmente au détriment de l'épargne et de la consommation future.

II L'arbitrage travail-loisir

1. La contrainte budgétaire du consommateur-travailleur

On considère un individu dont le temps total disponible est noté H (avec H > 0). Ce temps peut être alloué soit pour travailler (T), soit pour le loisir (L₀) :

Chaque unité de temps travaillée est rémunérée au salaire nominal w (avec w > 0). Ainsi, si le consommateur décide de travailler pendant une durée T, il obtient en contrepartie un revenu salarial Tw. Mais ces individus bénéficient également d'un revenu non-salarial (un revenu de transfert de l'État, un loyer lié à la détention d'un bien immobilier) noté R̄ (avec R̄ ≥ 0). Finalement, le revenu salarial et le revenu non-salarial forment le revenu total de l'agent (R_T) :

Cet individu utilise son revenu total pour acquérir une quantité C d'un bien de consommation finale. Aussi, si l'on note p le prix de ce bien (avec p > 0), la dépense totale de consommation est pC. Un consommateur ne peut dépenser un montant supérieur à son revenu total : R_T ≥ pC. Or, du fait de l'hypothèse de non-saturation des préférences, tout son revenu sera utilisé pour consommer du bien final :

En sachant que le revenu total se décompose en un revenu salarial et un revenu non-salarial (équation (2)), nous obtenons :

Or, à partir de l'équation (1), nous savons que tout le temps qui est consacré au travail ne peut être utilisé pour le loisir : T = H − L₀. Si l'on substitue cette expression dans la contrainte budgétaire du consommateur, nous avons : (H − L₀)w + R̄ = pC. Ce qui nous donne :

où wH + R̄ représente le revenu nominal potentiel du consommateur. Il mesure le revenu total dont disposerait cet agent s'il consacrait la totalité de son temps disponible au travail. pC est la dépense pour le bien de consommation finale. wL₀ est le temps de loisir pondéré par le salaire nominal. En effet, chaque unité de temps consacrée au loisir aurait pu être utilisée pour travailler. Ainsi, wL₀ représente le montant total qui aurait pu être obtenu si l'on avait consacré son temps de loisir à travailler. Autrement dit, wL₀ mesure le coût d'opportunité du loisir.

Si l'on isole la quantité de bien final (C) dans l'équation (4), nous obtenons la contrainte budgétaire suivante :

Avec w/p le salaire réel. Il mesure également le pouvoir d'achat du salaire nominal. De la même façon, (wH + R̄)/p représente le revenu potentiel réel du consommateur, i.e. la quantité de bien final qui peut être acquise par cet individu s'il consacre tout son temps disponible au travail.

L'équation (5) décrit alors une droite décroissante dont la valeur absolue de la pente correspond au salaire réel (w/p). En outre, lorsque l'agent choisit de ne pas consacrer de temps au loisir (L₀ = 0 et T = H), la consommation de bien finale est égale au revenu potentiel réel (C = (wH + R̄)/p). Inversement, si cet agent décide de ne pas travailler (T = 0 et L₀ = H), ses ressources se limiteront à son revenu non-salarial (R̄). Il pourra alors acquérir R̄/p unités de bien final. Ainsi, même si l'agent choisit de ne pas travailler, il pourra consommer du bien final pourvu que R̄ soit strictement positif.

La décroissance de la contrainte budgétaire s'explique simplement. En effet, pour une unité de temps additionnelle consacrée au loisir, le consommateur renonce au salaire nominal w. Or, ce salaire nominal permet d'acquérir w/p unités de bien final. Ainsi, chaque unité de temps supplémentaire utilisée pour le loisir revient à se priver de w/p unités de bien final.

2. Impact d'une modification du revenu non-salarial et du salaire nominal

Rappelons que l'équation de la contrainte budgétaire est de la forme :

• Lorsque le revenu non-salarial (R̄) varie, cela n'affecte pas la pente de la contrainte budgétaire (−w/p). Cependant, une hausse de R̄ étend l'ensemble de consommation réalisable puisque l'on observe une translation vers le haut de la contrainte de revenu. Inversement, lorsque R̄ diminue, on observe une translation de la droite de budget vers le bas ;
• Lorsque le salaire nominal (w) varie, cela modifie la pente de la contrainte de revenu. Plus précisément, une hausse de w augmente la valeur absolue de la pente de la contrainte budgétaire. Inversement, une baisse de w réduit la valeur absolue de cette pente. Cependant, si l'agent décide de ne pas travailler (L₀ = H et T = 0), il ne bénéficie que du revenu non-salarial. Cela lui permet de consommer une quantité R̄/p de bien final. Aussi, quel que soit la valeur prise par le salaire nominal, la contrainte de revenu passe toujours par le point de coordonnées (L₀, C) = (H, R̄/p). Au final, la contrainte budgétaire pivote vers le haut si le salaire nominal augmente, et pivote vers le bas si le salaire nominal diminue.

3. Les préférences du consommateur

Dans ce modèle d'arbitrage travail-loisir, le loisir est considéré comme un bien comme les autres qui procure une utilité au consommateur. Ainsi, un panier de biens est un couple constitué du temps consacré au loisir, et d'une quantité de bien final : (L₀, C). Chaque individu va ensuite classer ces paniers de biens en fonction de ses préférences. Si ces préférences respectent les axiomes de cohérence, de convexité et de continuité, alors il existe une fonction d'utilité qui associe à tout panier de biens une grandeur numérique :

Cette fonction est quasi-concave. En outre, du fait de l'axiome de non-saturation des préférences, l'utilité marginale de chaque bien est positive. L'utilité marginale du bien final est donnée par : ∂U(C, L₀)/∂C > 0. Tandis que l'utilité marginale du loisir est fournie par : ∂U(C, L₀)/∂L₀ > 0.

Si l'on cherche à représenter une courbe d'indifférence dans l'ensemble de consommation (L₀, C), il faut isoler C dans l'équation précédente. Ces courbes d'indifférence sont décroissantes et convexes. Elles ne se coupent pas. Enfin, plus elles sont situées au nord-est dans l'ensemble de consommation, plus le niveau de satisfaction qui leur est associé est élevé.

La valeur absolue de la pente de ces courbes d'indifférence est mesurée par le taux marginal de substitution du bien final au loisir. Ce dernier mesure la quantité de bien final à laquelle le consommateur est disposé à renoncer pour accroître d'une unité supplémentaire son temps de loisir, son niveau de satisfaction étant constant.

L'expression du taux marginal de substitution est obtenue en prenant la différentielle totale de la fonction d'utilité :

Or, le long d'une courbe d'indifférence, l'utilité d'un agent est constante, donc dU = 0. Pour un niveau d'utilité donné, l'expression précédente se réécrit :

Ce qui nous donne :

Le taux marginal de substitution du bien final au temps de loisir est donc égal au rapport entre l'utilité marginale du loisir et l'utilité marginale du bien final.

4. Le choix d'équilibre du consommateur

L'objectif du consommateur est de maximiser son utilité sous sa contrainte de revenu :

Les deux variables endogènes de ce programme sont la quantité de bien final et le temps de loisir puisqu'elles dépendent des choix du consommateur. Il faut aussi remarquer que la décision d'équilibre détermine le temps que l'individu souhaite consacrer au travail. En effet, tout le temps disponible qui n'est pas utilisé pour le loisir est nécessairement dédié au travail (équation (1)).

4.1. La résolution graphique

Chaque consommateur détermine le panier de biens appartenant à sa contrainte budgétaire et situé sur la courbe d'indifférence la plus élevée possible. L'équilibre ainsi obtenu peut être soit une solution intérieure, soit une solution en coin.

• Dans le cas d'une solution intérieure, l'équilibre (noté E) est obtenu au point de tangence entre la contrainte budgétaire et la courbe d'indifférence associée au niveau de satisfaction le plus élevé possible. Or, le salaire réel (w/p) mesure la valeur absolue de la pente de contrainte budgétaire. De plus, le taux marginal de substitution mesure la valeur absolue de la pente de la courbe d'indifférence pour un panier donné. Au final, au point E le taux marginal de substitution doit être égal au salaire réel : TMS_C/L0 = w/p.

L'équilibre est ici qualifié de solution intérieure car le consommateur ne consacre pas la totalité de son temps au loisir. La différence entre le temps total disponible (H) et le temps consacré au loisir (L₀*) détermine la quantité de travail fournie par cet agent à l'équilibre : T* = H − L₀*. Nous dirons alors que l'individu offre son travail. Inversement, la demande de travail émane des entreprises.

• Dans le cas d'une solution en coin, le consommateur décide de ne pas travailler (T* = 0), et de consacrer tout son temps disponible au loisir (L₀* = H). Son revenu non-salarial (R̄) est donc la seule ressource dont il dispose. Il peut ainsi consommer R̄/p unités de bien final. À l'équilibre en coin de ce consommateur, la courbe d'indifférence n'est pas tangente à la contrainte budgétaire. Plus précisément, en ce point d'équilibre la valeur absolue de la pente de la courbe d'indifférence est plus élevée que la valeur absolue de la pente de la contrainte budgétaire. Autrement dit, au point d'équilibre Ẽ, le taux marginal de substitution est supérieur au salaire réel : (TMS_C/L0)_Ẽ > w/p.

4.2. La résolution analytique

La résolution analytique du programme du consommateur peut passer soit par la méthode intuitive, soit par la méthode de Lagrange.

La méthode intuitive repose sur les propriétés géométriques de l'équilibre. À partir du Graphique 7, nous observons que tout équilibre intérieur du consommateur est caractérisé par l'égalité entre le taux marginal de substitution et le salaire réel :

La solution intérieure est ensuite obtenue en combinant cette première équation avec la contrainte budgétaire. Le système à résoudre est donc le suivant :

La demande marshallienne de bien final ainsi que la demande marshallienne de loisir sont toutes deux fonctions du salaire nominal, du revenu non-salarial, et du prix du bien final : C* = C(w, R̄, p) pour le bien final, et L₀* = L₀(w, R̄, p) pour le loisir. On obtient la quantité de travail d'équilibre en utilisant l'équation (1) : T* = H − L₀* = T(w, R̄, p).

Cette première solution ne caractérise effectivement l'équilibre du consommateur que si cet agent décide de ne pas consacrer la totalité de son temps au loisir : L₀* = L₀(w, R̄, p) ≤ H. Cela signifie que l'offre de travail doit être positive : T* = T(w, R̄, p) ≥ 0. Après avoir réarrangé les termes de cette inégalité, nous obtenons une condition sur le salaire réel de la forme : (w/p) ≥ g(R̄, p). Le membre de droite représente une fonction croissante de R̄. Cette inégalité ne sera pas respectée si le salaire réel est trop faible, ou bien si le revenu non-salarial est trop élevé.

À partir de cette inégalité, on déduit la valeur du salaire réel en-deçà duquel l'agent décide de ne pas offrir son travail. Il s'agit du salaire de réservation (noté (w/p)_R) : (w/p)_R = g(R̄, p).

Par conséquent, c'est la comparaison entre le salaire réel de marché et le salaire de réservation qui conditionne la décision de participer ou non au marché du travail. Si (w/p)_R > (w/p), nous sommes dans le cas d'une solution en coin. Le salaire réel n'est pas suffisamment élevé pour inciter le consommateur à participer au marché du travail (T* = 0). Tout le temps disponible est donc consacré au loisir (L₀* = H). Le revenu non-salarial constitue la seule ressource du consommateur. Il peut donc consommer R̄/p unités de bien final : C* = R̄/p.

Que l'on considère la solution intérieure ou bien la solution en coin, ces fonctions de demande sont homogènes de degré 0. L'agent n'est donc pas victime de l'illusion monétaire.

Deux éléments doivent être distingués lorsque l'on s'intéresse à l'offre de travail. Tout d'abord, l'offre extensive individuelle de travail désigne la décision de participer ou non au marché du travail selon que le salaire réel est supérieur ou inférieur au salaire de réservation. Cette décision est binaire. Ensuite, l'offre intensive individuelle de travail est une variable continue. Elle mesure le temps consacré par un individu à son activité professionnelle.

La méthode de Lagrange : Le programme du consommateur est de maximiser sa satisfaction sous sa contrainte de revenu :

Le Lagrangien de ce programme s'écrit de la façon suivante :

Les conditions du premier ordre sont fournies par :

À partir de l'équation (6), nous avons : λ = (∂U/∂C)/p. Tandis que l'équation (7) nous donne : λ = (∂U/∂L₀)/w. Nous pouvons donc écrire :

Soit encore :

Dans le cas d'une solution intérieure, l'équilibre du consommateur est caractérisé par l'égalité entre le taux marginal de substitution du bien final au loisir, et le salaire réel. Les demandes marshalliennes sont obtenues en résolvant le système composé de cette égalité et de la contrainte budgétaire du consommateur (équation (8)).

Exercice d'application

Synthèse du chapitre

Bibliographie