Opérateurs différentiels
Un opérateur est un objet mathématique qui agit sur d'autres objets mathématiques (fonction scalaire, fonction vectorielle, ...) dans un espace bien défini. Un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur les fonctions différentiables.
Un champ de vecteurs ou fonction vectorielle est un vecteur dont les composantes sont des fonctions scalaires.
Exemple :
\( \left\{ \begin{array}{llll} f(x, y, z)\\ g(x, y, z) \\h(x, y, z) \end{array} \right.\)
\(\vec{A}\) est un champ de vecteurs dont les composantes sont les fonctions scalaires \(f\), \(g\) et \(h\)
Opérateur gradient
Définition
En coordonnées cartésiennes \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) le gradient de la fonction \(f\), noté \(\overrightarrow{grad}f\) est le vecteur défini par :
\(\overrightarrow{grad}f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\,\vec{k}.\)
Soit \(M\) un point de l'espace et \(f(x, y, z)\) la valeur d'une fonction scalaire \(f\) en ce point. En un point \(M'\) voisin de \(M\), la variation de \(f\) peut s'écrire comme étant la différentielle :
\(df=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy+\dfrac{\partial f}{\partial z}dz,\)
or le vecteur déplacement infinitésimal \(d\overrightarrow{OM}\) est :
\(d\overrightarrow{OM}=d\vec{l}=dx\,\vec{i}+dy\,\vec{j}+dz\,\vec{k}.\)
Nous en déduisons que :
\(df=\overrightarrow{grad}f.d\vec{l}\)
Le gradient de fonction f peut également s'écrire sous la forme :
\(\overrightarrow{grad}f=\vec{\nabla}f,\)
où \(\vec{\nabla}\) est appelé vecteur nabla. En coordonnées cartésiennes nous avons :
\(\vec{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\,\vec{i}+\dfrac{\partial}{\partial y}\,\vec{j}+\dfrac{\partial}{\partial z}\vec{k}\)
Propriété
Pour \(f(x, y, z)=const\) nous avons \(df=0\) alors \(\overrightarrow{grad}f\,\bot\,d\vec{l}\) ; la surface \(f(x, y, z)=const\) est appelée surface de niveau. Le vecteur unitaire normal à la surface de niveau est :
\(\vec{n}=\dfrac{\overrightarrow{grad}f}{\Arrowvert\overrightarrow{grad}f\Arrowvert}\)
Circulation d'un vecteur sur une courbe
Soit un champ vectoriel \(\vec{F}\) dont le point d'application \(M\) se déplace le long d'une courbe \((\mathcal{C})\). La circulation de \(\vec{F}\) sur la courbe \((\mathcal{C})\) est le scalaire défini par :
\(C=\int_{(\mathcal{C})}\vec{F}.d\vec{l}.\)
Si \(\vec{F}\) dérive d'un potentiel scalaire \(f\) alors
\(\vec{F}=-\overrightarrow{grad}f,\)
et la circulation de \(\vec{F}\) sur la courbe \((\mathcal{C})\) du point A vers le point B devient :
\(C=-\int_{A}^{B}\overrightarrow{grad}f.d\vec{l}=-\int_{A}^{B}df=f(A)-f(B).\)
\(\textbf{N.B. :}\) Si \(\vec{F}\) est une force, la circulation de A à B représente le travail de \(\vec{F}\) pour aller de A à B.
Opérateur divergence
Définition
Dans la base cartésienne \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), considérons un champ vectoriel
\(\vec{A}=f(x, y, z)\,\vec{i}+g(x, y, z)\,\vec{j}+h(x, y, z)\,\vec{k}\)
dont les composantes sont les fonctions scalaires \(f\), \(g\) et \(h\). La divergence de \(\vec{A}\), notée \(div\vec{A}\), est le scalaire défini par :
\(div\vec{A}=\vec{\nabla}.\vec{A}=\dfrac{\partial f}{\partial x}+\dfrac{\partial g}{\partial y}+\dfrac{\partial h}{\partial z}\)
Théorème de Green-Ostrograski
Le flux \varphi d'un champ vectoriel \(\vec{A}\) à travers une surface \(S\) délimitant un volume \(V\) est :
\(\varphi=\iint_{(S)}\vec{A}.d\vec{S}=\iiint_{(V)}div\vec{A}\,dV.\)
Opérateur rotationnel
Définition
Dans la base cartésienne \((\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), considérons un champ vectoriel
\(\vec{A}=f(x, y, z)\,\vec{i}+g(x, y, z)\,\vec{j}+h(x, y, z)\,\vec{k}\) dont les composantes sont les fonctions scalaires \(f\), \(g\) et \(h\). Le rotationnel de \(\vec{A}\), noté \(\overrightarrow{rot}\vec{A}\), est le vecteur défini par :
\(\overrightarrow{rot}\vec{A}=\vec{\nabla}\wedge\vec{A}=\begin{vmatrix} &\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} &\\ &\dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}& \\ &f& g & h& \end{vmatrix}\)
Théorème de Stokes
La circulation C d'un champ de vectoriel \(\vec{A}\) sur une courbe \((\mathcal{C})\) délimitant une surface \(S\) est :
\(C=\int_{(\mathcal{C})}\vec{A}.d\vec{l}=\iint_{(S)}\overrightarrow{rot}\vec{A}.d\vec{S}.\)
Opérateur laplacien
Le laplacien d'un champ scalaire f dérivable deux fois au moins, est le scalaire noté \({\Delta}f\) et défini par :
\(\Delta f=\vec{\nabla}\vec{\nabla}f=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}.\)
Si \(\Delta f=0\) alors la fonction f est appelée fonction harmonique.
Le laplacien d'un champ de vecteur \(\vec{A}\) dont les composantes \(A_{x}, A_{y}\) et \(A_{z}\) sont dérivables deux fois au moins, est défini par : \(\Delta\vec{A}=\Delta A_{x}\,\vec{i}+\Delta A_{y}\,\vec{j}+\Delta A_{z}\,\vec{k}.\)